| Symbol | Bedeutung | Wert / Einheit |
|---|---|---|
| m | Kugelmasse | 7 kg |
| R | Kugelradius | 0.11 m |
| c | Trägheitsfaktor, I = c·m·R² | 0.4 |
| g | Erdbeschleunigung | 9.81 m/s² |
| μ₁, μ₂ | Reibwert vorderer / hinterer Bahnabschnitt | 0.005 – 1 (dimensionslos) |
| v₀ | Abwurfgeschwindigkeit | 2 – 8 m/s |
| ω₁ | vorgegebene Rotationsgeschwindigkeit (Hook-Spin) | = vRot·π, rad/s |
| L | Bahnlänge (Foullinie bis Kopfpin) | 18 m |
| s | zurückgelegte Strecke entlang der Bahn | 0 – 23 m |
| y(s) | laterale Ablenkung an Position s | m |
Die Kugel wird als homogene, starre Kugel mit dem Trägheitsmoment I = c·m·R², c = 0.4 behandelt – das entspricht exakt dem klassischen Wert c = 2/5 für eine homogene Vollkugel. Die Wechselwirkung mit der Bahn wird über Coulomb'sche Gleitreibung (Kraft = μ·m·g, unabhängig von der Relativgeschwindigkeit) modelliert. Die beiden Bahnabschnitte wirken an unterschiedlichen Stellen der Trajektorie: μ₁ dominiert die Anfangsphase (Gleiten) sowie einen zweiten, unten beschriebenen Krümmungsanteil; μ₂ dominiert die Rollphase, in der sich der Haupt-Hook ausbildet.
Unmittelbar nach dem Abwurf gleitet die Kugel, ohne dass Rollen ohne Schlupf vorliegt. Die Reibkraft FR = μ₁·m·g wirkt der Translation entgegen und erzeugt gleichzeitig ein Reibmoment M = FR·R, das die Kugel aufspinnt:
dv/dt = −μ₁·g (1) dω/dt = M/I = μ₁·g / (c·R) (2)Mit den Anfangsbedingungen v(0) = v₀, ω(0) = 0 ergibt sich die Rollbedingung v(t) = ω(t)·R nach der klassischen Gleit-Roll-Übergangszeit:
tG = 2·v₀ / (7·μ₁·g) (3)mit der zugehörigen Geschwindigkeit am Ende der Gleitphase
vG = v₀ − μ₁·g·tG = (5/7)·v₀ (4)Die während der Gleitphase zurückgelegte Strecke sG und die aufgebaute Winkelgeschwindigkeit ω2 = ω(tG) = α·tG folgen unmittelbar aus (1)–(4) und markieren den Übergang in Phase II.
Ab s = sG rollt die Kugel ohne weiteren Schlupf. In diesem Modell wird dieser Abschnitt bis zu einer festen Referenzposition s = 2L/3 + 0.1 m als lateral unabgelenkt angenommen – die Ausbildung des Hooks beginnt definitionsgemäß erst danach.
Der eigentliche Hook entsteht aus dem Verhältnis der vorgegebenen Rotationsgeschwindigkeit ω₁ (Achse quer zur Laufrichtung, verantwortlich für die seitliche Kraftkomponente) zur resultierenden Rollgeschwindigkeit. Der Bahnwinkel α am Ende der Rollphase ergibt sich zu
tan α = c·ω₁·R / (vG + c·ω₂·R) (5)Aus der in der Rollphase zurückgelegten Vorwärts- und Seitwärtsstrecke (sx, sy) wird der Radius des Hook-Kreisbogens geometrisch bestimmt:
Rhook = sx / tan α + sy (6)Die laterale Ablenkung entlang eines Kreisbogens mit Radius Rhook im Abstand d vom Bogenmittelpunkt folgt der Sagitta-Beziehung
y(d) = Rhook − √(Rhook² − d²) (7)Für ω₁ → 0 (keine Rotation) strebt tan α → 0 und damit Rhook → ∞; der Grenzwert von (7) ist dann y → 0 – die Kugel läuft exakt geradeaus, wie es die Physik für eine spinfreie Kugel verlangt. Das Modell behandelt diesen Grenzfall explizit (numerisch als Sonderfall abgefangen), um eine unbestimmte Form „∞ − ∞“ zu vermeiden.
Ist die volle Rollbedingung auch in Vorwärtsrichtung erreicht, geht der Kreisbogen in eine Tangente über; die Kugel läuft ab hier mit konstantem Winkel α geradlinig weiter:
y(s) = tan α · (s − s₀) + y₀ (8)Dieser lineare Auslauf bildet den in der Praxis beobachteten Effekt ab, dass der Hook nicht beliebig weiter kurvt, sondern nach dem Einbrechen näherungsweise geradlinig in die Pins läuft.
Zusätzlich zum Haupt-Hook enthält das Modell einen zweiten, mit μ₁ verknüpften Krümmungsanteil (analog zu (5)–(7) hergeleitet, jedoch mit v₀ statt vG und μ₁ statt μ₂ als treibendem Reibwert). Er repräsentiert die Wirkung des vorderen, geölten Abschnitts auf den späteren Bahnverlauf – benannt nach dem Hydroplaning-Effekt eines dünnen Ölfilms – und wird ab dem Einsetzen des Hooks auf seinem entlang der Ölzone erreichten Maximalwert eingefroren, ergänzt um einen weiteren linearen Term. Beide Bestandteile werden der Hauptablenkung additiv überlagert.
Die gesamte laterale Ablenkung an jeder Position s ist die Summe aus dem Haupt-Hook-Anteil (Kapitel 5–6) und dem Ölfilm-Korrekturanteil (Kapitel 7):
yges(s) = yhook(s) + yöl,kurve(s) + yöl,linear(s) (9)Die Trajektorie wird für s = 0…23 m in Schritten von 0.4 m ausgewertet und zwischen den Stützstellen linear interpoliert. Ein zusätzlicher, in den Ergebnissen unabhängig steuerbarer Parameter (Startposition) verschiebt lediglich den Referenzpunkt der Messung, ohne die Form von y(s) selbst zu beeinflussen – er ist damit kein physikalischer, sondern ein geometrischer Freiheitsgrad (seitlicher Versatz der Anlaufposition).
Die Phasen I–II (Gleit-Roll-Übergang) sind eine exakte, geschlossene Lösung der Starrkörper-Bewegungsgleichungen unter Coulomb-Reibung und reproduzieren den bekannten 5/7-Faktor. Die Modellierung des Hooks (Phasen III–IV) sowie der Ölfilm-Korrektur ist dagegen ein geometrisch-heuristischer Ansatz: Der Kreisbogenradius wird aus Energie-/Impulsgrößen der Rollphase konstruiert, nicht aus einer vollständig gekoppelten Lösung der Dreh- und Translationsimpulsgleichungen inklusive dynamischer Rotationsachsen-Wanderung, wie sie in der Bowlingball-Dynamik-Literatur diskutiert wird. Für die didaktische Zielsetzung – den qualitativen Zusammenhang zwischen Zonenreibwerten und resultierendem Hook erfahrbar zu machen – bildet das Modell die charakteristische S-Form der Kugelbahn (Anlaufgerade → Einbrechen → geradliniger Auslauf) jedoch realistisch ab.